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[MATH]동병상련(同病相憐)과 닮음

분류없음 2014.08.18 01:30 by 과학향기
[MATH]동병상련(同病相憐)과 닮음

 

‘수학계의 올림픽’이라고도 불리는 세계수학자 대회가 지난 2014년 8월 13일에 시작되었으며, 21일까지 서울에서 열립니다. 국제수학연맹의 주최로 최근 4년간 일어났던 중요한 수학적 업적을 평가하고 시상합니다. ‘나눔으로 희망이 되는 축제’라는 주제를 걸고 전 세계 100개국 5천명의 수학자들이 참가해 수학에 관한 다양한 분야의 토론 및 강연이 개최됩니다.
과학향기에서는 올 한 해 동안 매월 1편씩 [MATH]라는 주제로 우리 생활 속 다양한 수학을 소개하는 코너를 마련했습니다. 기초과학의 꽃이라 불리는 수학이 우리 생활에서 얼마나 중요한 역할을 하는지, 또 우리 주변에 얼마나 많은 수학 원리들이 존재하는지를 이야기로 꾸며 매월 셋째 주 월요일에 서비스할 예정입니다. 과학향기 독자 분들의 많은 관심 부탁드립니다.

우리는 흔히 서로 같은 어려움을 격고 있는 경우에 ‘동병상련(同病相憐)’이라는 말을 사용한다. 이를테면 ‘저 두 사람은 같은 병을 앓다 보니까 동병상련이라고 형제보다 그 우애가 더하다.’ 또는 ‘동병상련이라고 어려운 처지를 당해 보아야 남을 생각할 줄도 알게 되는 법이다.’ 와 같이 사용한다. 동병상련은 ‘같은 병을 앓는 사람끼리 서로 가엽게 여긴다.’라는 뜻으로, ‘어려운 처지에 있는 사람끼리 서로 딱하게 여겨 동정하고 돕는다.’라는 말이다. <오월춘추(吳越春秋)>, ‘합려내전(闔閭內傳)’에 다음과 같은 이야기가 실려 있다.


전국시대인 기원전 515년, 오(吳)나라의 광(光)은 사촌 동생인 오왕 요(僚)를 시해한 뒤 오왕 합려(闔閭)라 일컫고 자신을 도와준 초(楚)나라 사람인 오자서(伍子胥)를 중용했다. 오자서는 7년 전 초나라의 비무기(費無忌)라는 사람의 모함으로 태부(太傅)로 있던 아버지와 역시 관리였던 맏형이 처형당하자 복수의 화신이 되어 오나라로 피신해 온 망명객이었다. 그가 합려를 적극적으로 도와준 것은 유능한 합려가 왕위에 오름으로써 아버지와 형의 원수를 갚으려는 이유에서였다.
그때 마침 비무기의 모함으로 아버지를 잃은 백비(伯嚭)가 오나라로 피신해 오자 오자서는 그를 합려에게 천거하여 대부(大夫) 벼슬에 오르게 했다. 그런데 같은 대부 벼슬에 있던 피리(被離)는 백비를 별로 달갑게 생각하지 않았다. 어느 날 피리가 오자서에게 물었다.
“백비의 눈길은 매와 같고 걸음걸이는 호랑이와 같으니 이는 필시 살인할 인상입니다. 그런데 공께서는 무슨 까닭으로 그런 인물을 천거했습니까?”
피리의 말이 듣고 오자서는 이렇게 대답했다.
“뭐 별다른 까닭은 없소이다. 하상가(河上歌)라는 노래에도 ‘동병상련 동우상구(同憂相救)’란 말이 있듯이 나와 같은 처지에 있는 백비를 돕는 것은 인지상정(人之常情)이지요.”
“당신이 하는 말뜻은 알겠습니다. 그러나 결코 마음을 허락해서는 안 될 사람입니다.”
피리의 충고에도 불구하고 오자서는 백비를 동료로서 함께 일했다. 그로부터 9년 후 합려가 초나라를 공격하여 승리하자 오자서와 백비는 마침내 원수를 갚을 수 있었다. 그러나 그 후 오자서는 불행히도 피리의 예언대로 월(越)나라에 매수된 백비의 모함에 빠져 죽임을 당하고 말았다.

동병상련


동병상련은 한 마디로 말하면 ‘닮았다.’는 뜻이다. 수학에서는 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소하거나 그대로 다른 도형에 포갤 수 있을 때, 이들 두 도형은 서로 닮았다 또는 닮음인 관계가 있다고 하고, 닮은 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 간단하게 예를 들면 다음 그림은 워드프로세서에서 글꼴 크기를 달리한 글자로 각각의 글자는 닮은 도형이 된다.


다음 그림은 □ABCD의 각 변을 2배로 확대한 □A‘B‘C‘D‘을 모눈종이 위에 그린 것이다. 또 □EFGH는 □A‘B‘C‘D‘을 뒤집어 놓은 것이다. 이 그림을 이용하여 닮음을 수학적으로 좀 더 살펴보자.
동병상련


□ABCD를 2배로 확대한 도형 A‘B‘C‘D‘은 □EFGH와 합동이므로 □ABCD와 □EFGH는 닮은 도형이다. 이 때 이 두 사각형에서 꼭짓점 A와 E, B와 F, C와 G, D와 H는 각각 서로 대응하는 꼭짓점이고, ∠A와 ∠E, ∠B와 ∠F, ∠C와 ∠G, ∠D와 ∠H는 각각 서로 대응하는 각이다.

두 도형 □ABCD와 □EFGH가 닮음인 관계가 있음을 기호 ∽를 사용하여

□ABCD ∽ □EFGH

와 같이 나타내고, 양쪽의 꼭짓점은 대응하는 순서대로 쓴다. 여기서 사용된 닮음기호 ∽는 1710년경 독일의 수학자 라이프니츠가 처음 사용한 것이다. 이것은 라틴어 similis(영어의 similar)의 머리글자인 S를 옆으로 누인 것이다.

위의 그림에서 □ABCD와 □EFGH에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 1:2이고 대응하는 각의 크기는 각각 같음을 알 수 있다. 이와 같이 닮은 두 다각형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다.

동병상련동병상련


위의 그림과 같이 두 도형의 대응점끼리 이은 직선이 모두 한 점 O를 지나고 점 O에서 각 도형의 대응점까지의 길이의 비가 모두 같을 때, 이들 두 도형은 닮음의 위치에 있다고 하며, 점 O를 닮음의 중심이라고 한다. 위의 그림에서 보듯이 닮음의 중심은 도형의 밖에 있을 수도 있고 안에 있을 수도 있다. 그런데 닮음의 중심이 도형의 밖에 있을 때에는 아래 그림과 같이 닮은 도형을 뒤집어서 그릴 수도 있다.

동병상련


삼각형은 모든 도형 중에서 가장 기본이 되기 때문에 두 삼각형이 어떨 때 닮았는지를 아는 것은 매우 중요한 일이다. 실제로 두 삼각형은 다음 세 조건 중에서 어느 하나를 만족하면 닮은 도형이 된다.

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 : a/a‘ = b/b‘ = c/c‘

동병상련


두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 : a/a‘ = c/c‘, ∠B = ∠B‘

동병상련

두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 : ∠B = ∠B‘, ∠C = ∠C‘
동병상련


앞에서 알아본 도형의 닮음이 실생활의 어디에서 사용될까? 복사기나 카메라, 환등기, 컴퓨터의 화면 등은 도형의 확대와 축소가 모두 자유롭다. 현미경을 이용하여 관찰되는 세포, 세균, 미립자 등과 과학 학습에 이용되는 분자 모형 등은 도형의 확대를 이용한 것이다. 은행에서 수표를 발행할 때 모든 수표는 마이크로 카메라에 의하여 축소 복사된다. 또 명함판 사진이나 제품을 소개하는 사진들, 건물을 짓기 전에 미리 만들어 놓은 모형, 비행기, 자동차의 모형 등의 모형 장난감, 실물 모양의 기념품 등은 모두 도형의 축소를 이용한 것이다.

글 : 이광연 한서대 수학과 교수
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