“종이로만든배암이종이로만든배암이라고하면▽은배암이다 / ▽은춤을추었다 / ▽의웃음을웃는것은파격이어서우스웠다 / …중략… / 굴곡한직선 / 그것은백금과반사계수가상호동등하다 / …중략… / 1 / 2 / 3 / 3은공배수의정벌로향하였다 / 전보는오지아니하였다”

우리가 잘 알고 있는 시인 이상(1910~1937)의 ‘▽의유희’라는 시의 일부다. 여기서 역삼각형은 촛불을 의미한다. 촛불이 흔들리는 모습을 보고 춤을 춘다고 했고, 촛불의 심지가 타들어가는 모습을 굴곡한 직석이라고 했으며, 촛불이 환하게 밝아지는 모습을 숫자 1, 2, 3으로 표현했다.

이처럼 이상의 시를 보면 수학적인 표현이 많이 나온다. 그는 ‘삼차각설계도-선에관한각서1, ∇의 유희, 건축무한육면각체, 조감도-신경질적으로비만한삼각형’처럼 작품 제목에서부터 삼각형, 육면체, 각, 선처럼 우리가 잘 아는 용어를 활용했다. 그러면서 누구도 흉내 내기 어려운 자신만의 작품 세계를 그려냈다. 수학으로 세상을 노래한 것이다.

2010년 8월 20일은 그가 태어난 지 100주년이 되는 날이다. ‘박제가 된 천재’라 불리는 그의 작품에는 문학적 표현에 숨겨진 의미뿐 아니라 수학적 표현도 많다. 그래서 수학자들 사이에는 그가 수학자가 됐다면 천재적인 재능을 보였을지 모른다는 의견도 나온다.

김용운 단국대 석좌교수는 “탁월한 수에 대한 감각과 비상한 계산력을 볼 때 이상이 수학자였다면 상당한 수준에 이르렀을 것”이라고 말했다. 실제로 총독부에서 건축기사로 근무했던 그는 독특한 계산법으로 업무를 처리해 동료를 놀라게 할 정도로 뛰어난 수학적 재능을 보인 바 있다.

그런데 이상은 왜 수학적인 표현을 이용해서 시를 썼을까? 그가 표현한 수학적 의미는 무엇일까?

우선 그의 전공부터 살펴보자. 그는 1926년 보성고등보통학교를, 1929년에 경성고등공업학교(현재 서울대학교) 건축과를 졸업했다. 경성고등고업학교 재학 시 그는 일본 도쿄대에서 쓰는 것과 같은 교재, 즉 서양의 최신 과학기술과 수학이 수록된 교재로 공부했다. 덕분에 과학과 수학에 대한 이해도가 높았다고 볼 수 있다. 또 수학자는 아니었지만 상당한 수준의 수학적 직관을 가지고 있었다.

하지만 그는 당시의 수학과 과학으로 세상을 완벽하게 이해할 수 없다고 생각했다. 인간의 정신과 같이 과학적으로 분석하기 어려운 것에 수학이 모르는 또 다른 세계가 있다고 생각한 것이다.


‘삼차각설계도’라는 연작시 중 ‘선에관한각서 2’를 보면 이상이 당시에 꿈꾼 세상을 엿볼 수 있다. 이 시에는 1과 3이 나온다. 전문가들은 1과 3을 단순한 숫자가 아닌 차원으로 해석한다. 즉 ‘1+3’에서 1은 선을, 3은 3차원의 공간을 뜻하며, 1+3은 차원의 결합으로 4차원의 세계, 즉 인간이 모르는 새로운 세계를 말한다고 본다. 이상이 이 시에서 4차원을 암시했다는 해석이다.

이에 대해서 신범순 서울대 국문학과 교수는 다른 해석을 제시한다. 이 시는 뒤쪽 괄호 안에 주석을 달아 시를 설명하는데, 여기서 ‘인문의 뇌수’, 즉 인문적인 정신과 마음을 강조했다는 것. 또 이상이 숫자를 수학과 다른 방식으로 보는 경우가 많아 1로는 ‘나’를, 3으로는 ‘그들’을 가리켰을 수 있다는 해석이다.

다시 말해 과학적으로만 해석할 경우 이상의 시를 잘못 알 가능성이 크다는 의견이다. 신 교수는 “당시에 과학적으로 4차원이 제시됐다”며 “이상처럼 뛰어난 천재가 단순히 흉내 내기를 했을 가능성이 극히 드물다”고 말했다.

특히 이 시 A+B+C=A, A+B+C=B, A+B+C=C에서 이상의 수학적 재능을 엿볼 수 있다. 이 수식이 성립하려면 A, B, C가 평면에서는 같은 점이어야만 한다. 하지만 공간에서는 다른 위치에 있어도 세 점이 일정한 각도를 유지해 직선으로 연결되면 세 점이 동일한 한 점으로 보이는 경우가 얼마든지 가능하다. 이 역시 이상의 남다른 수학적 표현을 엿볼 수 있는 부분이다.

이상은 이처럼 예술적인 재능은 물론 수학과 과학 분야에서도 뛰어난 재능을 보여줬다. 한 전문가는 “이상은 레오나르도 다 빈치처럼 다양한 분야에서 자신의 재능을 발휘한 다방면의 천재”라고 말한다. 전인적이고 다재다능하며, 수학과 과학을 정보로 활용한 천재라는 이야기다.

참고로 이상의 본명은 김해경이다. 이상이라는 이름은 연예인들이 실제 이름 대신 사용하는 가명과 비슷한 셈이다. 필명 이상에 대해서는 학창시절 별명이라는 설과 공사장 인부들이 그의 이름을 몰라 ‘리상(이 씨)’라고 불러 그대로 썼다는 설이 있다.

그는 1936년 폐결핵을 치료할 목적으로 도쿄로 갔다가 불온사상 혐의로 일본경찰에 체포됐다. 그러다 병보석으로 풀려 도쿄대 부속병원에 입원했지만 안타깝게도 1937년에 생을 마감했다.

글 : 박응서 동아사이언스 기자
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1차원은 선이므로 앞과 뒤만 존재하고, 2차원은 면이므로 앞뒤, 좌우가 있다. 3차원은 공간이므로 앞뒤, 좌우, 상하가 존재하며 우리가 현재 살고 있는 공간 자체를 말한다. 그리고 4차원은 3차원의 공간에 1차원인 시간의 축이 추가된 것이다. 이것이 사람들이 일반적으로 알고 있는 1, 2, 3, 4차원이다. 그러면 수학자들에게 있어서 4차원은 무엇일까? 수학에서 공간의 차원이라 함은 추상적이면서도 포괄적인 개념으로 서로 수직인 좌표축을 몇 개 그릴 수 있는가로 정의된다. 4차원 공간은 3차원처럼 눈에 보이지 않는 추상적 개념이다.

예를 들면 직선은 x축 하나만 그릴 수 있으므로 1차원이고 종이와 같은 평면은 x, y축 두 개를 그릴 수 있어 2차원이며, 우리가 존재하는 현실공간에는 3개의 수직인 x, y, z 좌표축을 그릴 수 있어 3차원이라고 한다. 계속하여 이 개념을 일반화하여 나가면 4차원뿐만 아니라 임의의 n차원을 정의할 수 있다. 이 임의의 차원은 평면일 수도 있고 곡면일 수도 있다. 수학적으로 n차원 공간을 다루는 것은 3차원 공간을 다루는 것에 비해 어려운 것이 아니다.

수학자들은 위에서 언급한 차원 외에도 기하학적 대상인 다양체라는 것을 정의한다. 여기서 다양체란 선·면·원·구와 같은 기하학적 도형의 집합을 1개의 공간으로 보았을 때의 공간을 말한다. 예를 들면 구 모양을 하고 있는 축구공을 생각하면 축구공은 여러 개의 가죽 헝겊을 붙여서 만든 것인데 하나의 가죽 헝겊을 펴서 보면 평면의 일부가 된다. 이런 관점으로 구는 우리가 존재하는 현실공간인 3차원이 아니라 종이와 같은 차원인 2차원이 되며 2차원 다양체라고 한다. 또 하나의 예로 종이의 세로축의 좌우 모서리를 붙이면 원기둥이 되고 다시 가로축 상하의 모서리를 붙이면 속이 비어 있는 도넛 모양의 기하학적인 모델이 만들어진다. 이를 토러스라고 하는데 이 역시 2차원 다양체이다. 

과학향기링크다양체란 중세 이전에 지구가 평평하다고 생각했던 것을 떠올리면 이해가 쉽다. 원이나 구, 토러스는 가까이에서 보면 평면으로 보이기 때문에 다양체이다. 점은 0차원 다양체이고, 선과 원주는 1차원 다양체이다. 면의 도형의 각 점에서 그 근방이 원판과 같은 위상으로 되는 것을 2차원 다양체라 한다. 각 점의 근방이 n차원 구체와 같은 n차원적 도형이거나, n차원 공간이나 n차원 구체 자신인 경우 각각의 것들은 n차원 다양체이다.

2차원 다양체들을 구, 토러스, 토러스를 붙인 것 등으로 구분할 수 있는데 구는 가운데 구멍이 없지만 다른 것들은 구멍이 있다. 이중에서 구만 임의의 폐곡선을 그린 후에 이를 폐곡선 내의 한 점으로 줄여나갈 수 있다. 예를 들면 적도 원의 반경을 천천히 줄이면서 북극점으로 줄여나갈 수 있다. 이를 수학적으로 정의하여 구는 기하학적 종수가 없고 단순 연결되어 있다고 한다.

그렇다면 4차원 다양체가 구와 같이 기하학적 종수가 없고 단순 연결되어 있다면 복소수 사영평면과 비슷할 것이냐는 질문을 던질 수가 있다. 이를 세베리의 추측이라고 하는데, 여기서 기하학적 종수란 토러스 등, 가운데에 구멍이 뚫린 원통 같은 것에 붙이는 위상학적 ‘번호’라고 할 수 있다. 구형의 경우 종수는 0이 되고, 도넛의 경우 종수는 1이 되는 것이다. 그리고 복소수 사영평면이란 4차원 구와 비슷한 4차원 다양체로, 복소수 성질을 가진다. 반면 4차원 구는 4차원 다양체 중 하나이면서 복소수의 성질을 가지지 않는다.

지난 1949년 이탈리아의 저명한 수학자인 프란체스코 세베리가 ‘기하학적 종수가 0이고 단순연결된 곡면은 평면과 거의 같다’는 4차원 다양체에 관한 추측을 내놓은 이후, 수학자들의 노력에도 불구하고 60년 가까이 증명되지 않은 채로 남아있었다.

그러나 우리나라의 서울대 수리과학부 박종일 교수와 서강대 수학과 이용남 교수가 수학계의 난제 중 하나였던 세베리의 추측이 틀렸다는 것을 증명했다. 다양체를 여러 가지 방법으로 변형하는 과정을 통해 기하학적 종수가 0이고 단순연결됐지만 평면과 근본적으로 다른 다양체를 구성해낸 것이다. 기하학적 종수가 0이고 단순연결된 평면은 곡률이 양(+)이라는 게 지금까지 연구결과였지만 이번에 발견한 4차원 구조물은 같은 조건에서 곡률이 음(-)인 곡면이 존재한다.

이러한 증명은 새로운 발상으로부터 시작되었다. 2차원 다양체와 마찬가지로 4차원 다양체라 함은 기하학적인 대상으로 각 점에서 잘게 잘라보면 4차원 공간과 유사한 것이다. 종이 위에 공을 올려놓고 북극점에서 공의 각 점으로 직선을 그리면 평면 위의 한 점과 만난다. 그런 관점으로 2차원 구는 평면에 북극점을 붙인 복소수 사영직선으로 볼 수 있다. 이를 4차원으로 일반화 한 것이 복소수 사영평면이다. 그러면 4차원 다양체에서도 2차원 다양체인 구와 같이 기하학적 종수가 없고 단순 연결되어 있는 특징을 갖고 기하학적인 대상을 결정지을 수 있을까? 아니면 이러한 특징을 가지고도 전혀 유사하지 않는 4차원 다양체가 존재할까?

이와 같이 수학자들은 기하학적인 문제를 무한한 상상력과 사고방식을 적절히 조화시켜 연구하고 해결한다. 많은 수학자들은 여전히 수학적인 대상이 아름답고 조화로워서 또는 미지에 대한 탐험의 정신으로 공부하기를 원하고 연구하지만 이에 대한 응용은 미래의 몫이다. 백 년 전에 발전한 수학이론이 현대 이론물리학, 통신 이론, 암호론 등에 사용될지 누가 예측할 수 있었겠는가?

글 : 이용남 교수(서강대학교 수학과)

ndsl링크 <출처 : 한국과학기술정보연구원 >
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