'아인슈타인'에 해당되는 글 2건

  1. 2014.05.19 [MATH] 사랑도 수학으로 풀 수 있을까
  2. 2008.06.17 아인슈타인도 틀렸다?!

국제 수학자대회가 2014년 서울에서 개최됩니다. 이를 기념해 과학향기에서는 올 한 해 동안 매월 1편씩 [MATH]라는 주제로 우리생활 속 다양한 수학을 소개하는 코너를 마련했습니다. 기초과학의 꽃이라 불리는 수학이 우리 생활에서 얼마나 중요한 역할을 하는지, 또 우리 주변에 얼마나 많은 수학 원리들이 존재하는지를 이야기로 꾸며 매월 셋째 주 월요일에 서비스할 예정입니다. 과학향기 독자 분들의 많은 관심 부탁드립니다.

 

 

부모와 자식 간의 사랑이든 남녀 간의 사랑이든 또는 친구 사이의 사랑이든, 사랑은 우리를 밝고 좋은 세상으로 이끌어 가는 힘이다. 사랑은 눈에 보이지도 않으면서 서로를 질긴 끈으로 꽁꽁 매놓은 매듭과도 같이 한 번 매 놓으면 풀기 어려운 것이기도 하다. 
 

이처럼 어려운 사랑을 수식으로 간단히 푼 사람이 있다. 그는 이 시대 최고의 천재로 알려진 아인슈타인(Einstein, Albert, 1879-1955)이다.

아인슈타인의 사랑방정식을 해석한 그림
Love=2□ + 2△ + 2● + 2V + 8<

 

어느 날 물리학 강의 도중 잠깐 숨을 돌리는 아인슈타인에게 한 학생이 물었다.
“박사님은 모든 물체 사이에 작용하는 상대성 원리도 발견하시고 수식화 하셨습니다. 그렇다면 사람들 사이에 오가는 사랑도 방정식으로 표현하실 수 있습니까?”

잠시 생각하던 아인슈타인은 다음과 같은 사랑 방정식을 만들어 냈다.

Love=2□ + 2△ + 2● + 2V + 8<


그리고 다음과 같이 설명했다.
“가지 않으면 안 될 길을 마지못해 떠나가며, 못내 아쉬워 뒤돌아보는 그 마음! 갈 수 없는 길인데도 따라가지 않을 수 없는 간절한 마음! 그 마음이 바로 사랑이다.”
아인슈타인의 사랑에 관한 재치 있는 수식은 사랑의 감성적인 면을 나타낸 것이다. 그렇다면 진짜로 수학을 이용하여 사랑을 설명할 수 있을까?
수학은 뭐든지 설명할 수 있는 학문인데 사랑인들 못하랴!

● 마당발 위상수학

사랑을 수학으로 설명하기 위하여 우선 위상수학(位相數學, topology)이라는 것을 알아야 한다. 위상수학을 간단히 말하자면 공간 속의 점, 선, 면 그리고 위치 등에 관하여 양이나 크기와는 상관없이 형상이나 위치 관계를 나타내는 수학의 한 분야이다.

 


이를테면 진흙 덩어리를 가지고 둥근 공을 만들었다가 공 모양을 변형하여 긴 막대기나 손잡이가 없는 컵을 만들 수 있다. 이때, 모양은 공에서 막대기나 컵으로 바뀌었지만 진흙 덩어리가 모래로 바뀌었다든지 서로 떨어졌다든지 구멍이 뚫렸다든지 하는 변형은 없다. 이럴 경우 우리는 둥근 공과 막대기 그리고 손잡이 없는 컵은 위상적으로 동형이라고 한다. 그러나 구멍 뚫린 도넛과 공은 위상적으로 동형이 아니다. 구멍 뚫린 도넛은 구멍 뚫린 손잡이가 달린 컵과 위상적으로 동형이다.

위상수학은 여러 면에서 기호논리학과 밀접한 관계가 있으며, 수학의 거의 모든 분야는 물론 예전에는 수학적 방법으로 처리할 수 없다고 여겼던 분야에까지 영향을 미치고 있다. 예를 들어 기계 장치, 지도, 배전망, 복잡한 기능을 계획하고 제어하는 조직 설계에 영향을 미친다.


● 애정에 관한 파국이론

1950년대 말쯤부터 영국의 수학자 지이만(E. C. Zeeman)이 처음으로 위상수학을 수학 이외의 다른 과학에 응용하기 시작하였다. 그는 뇌의 위상적 모델을 만들어 여러 가지 현상을 해석함으로서 많은 수학자들의 관심을 끌었다.

이에 자극을 받은 톰(R. Thom)은 수학의 이론을 생물학과 물리학 더 나아가 사회과학에 응용할 수 있는 방법을 생각했고, 1973년 말, <구조안정성과 형태형성의 이론>이라는 책을 출판했다. 톰은 이 책에서 갑작스러운 큰 변화를 카타스트로피(catastrophe, 파국)라고 하며 이 ‘파국’을 어떻게 수학적으로 파악하는가에 관한 자신의 생각을 정리했다.

그런데 파국에 관한 톰의 생각은 난해하고 철학적이었기 때문에 지이만이 톰의 이론을 쉽고 응용하기 편리하도록 풀이하였다. 지이만은 파국이론을 전개하는데 ‘적에 대한 개의 행동’을 예로 들었다. 그러나 개에 대한 지이만의 예 대신 사랑으로 파국이론을 간단히 알아보자.

이제 막 사랑을 시작하는 젊은 남녀가 있다. 그들의 사랑을 수치적인 양으로 나타내기는 힘들지만, 둘은 시간이 흐를수록 상대방에게 더욱 깊은 사랑의 감정을 갖게 됐다. 이들은 서로를 사랑하는 동안 몇 차례 싸움도 했다. 아름다운 사랑을 만들어가던 연인은 어느 날 하찮은 일로 심하게 싸우게 되었다. 그래서 화가 난 여자는 남자를 사랑하던 마음이 시들게 됐다. 하지만 예전의 사랑을 되찾고 싶어 하는 남자는 어떤 방법으로 여자에게 화해를 청할까 생각하다가 편지를 쓰기로 했다. 그래서 남자는 사랑하는 연인에게 짧지만 진심이 가득담긴 화해의 편지를 정성껏 써서 보냈다. 편지를 읽어본 여자는 남자의 진심에 너무 감동한 나머지 남자를 사랑하는 마음이 벅차올랐다. 결국 그들의 사랑은 다시 뜨거워졌고 예전보다 더욱더 사랑이 깊어지게 됐다.

이 이야기를 수학적으로 표현하기 위하여 다음과 같은 그래프로 나타내어 보자. 그림의 수평 좌표는 둘이 만남을 유지하는 시간이고 수직 좌표는 사랑의 양이라고 하자.

 왼쪽의 그래프는 불연속적인 현상을 나타낸 것이고
오른쪽의 그래프는 이들을 포함하는 곡면이 있음을 나타낸 것이다.

이 그림에서 두 사람의 사랑이 처음 만남을 가졌을 때부터 꽃을 선물할 때까지 연속적으로 변한다는 것을 알 수 있다. 그러나 꽃을 선물한 다음은 사랑의 감정이 위로 ‘점프’했다. 또 약속을 어긴 이후에 연속적으로 변하던 곡선이 말다툼이 있은 다음에는 밑으로 ‘점프’한 것을 알 수 있다. 그리고 남자의 편지를 받고 둘이 화해를 한 이후에는 기존에 있던 양보다 훨씬 많이 점프했다. 이런 복잡한 불연속을 어떤 한 곡면 위에 모두 나타낼 수 있고 그 곡면의 성질로부터 주어진 문제를 해결할 수 있다는 것이 파국이론이다.

● 자연재해를 통해 본 파국이론

파국이론은 예전의 연속적 현상만을 다루었던 수학에 불연속 현상을 도입하는 획기적인 역할을 했다. 그 결과 어떤 현상에 대한 다양한 표현 방법의 모델이 수학자로부터 자연과학자뿐만 아니라 사회과학자에게도 제공됐다.

지이만은 이런 기법을 이용하여 국방 문제에서부터 나라 사이의 외교 관계에 이르기까지 여러 가지 응용의 보기를 들어 파국이론을 설명했다. 이런 설명 중에서 사회과학과 관련된 어떤 것은 이야깃거리로는 재밌지만 아직까지 엄밀하게 정립되지는 않았다. 그렇지만 자연과학의 여러 곳에서는 실제로 파국이론이 응용되고 있다.

 



2004년 인도네시아는 쓰나미로 약 15만 명의 인명 희생과 막대한 재산 피해를 입었다. 이런 큰 자연재해는 역사적으로 인간과 자연에 큰 영향을 끼쳤고 역사의 흐름을 바꾸어 놓았다. 미국의 고고학 저널리스트인 데이비드 키즈는 세계 각국의 사료를 조사해서 쓴 <대(大)재해(Catastrophe, 2000년)>에서 서기 535에서 536년에 걸쳐 전 세계적으로 대기가 혼탁해지면서 태양을 가려 큰 기근과 홍수가 나고 전염병이 창궐해 구시대가 몰락하고 새 문명의 싹이 트기 시작했다고 주장했다.

1815년에는 인도네시아 숨바와 섬의 탐보라 화산 폭발로 수십만 명이 숨졌다. 대기를 뒤덮은 150만 km³의 화산재와 먼지는 지구의 기온을 낮췄고, 이로 인해 이듬해인 1816년은 유럽인들에게 ‘여름이 없었던 해’로 기억됐으며, 전 세계적으로도 흉작이 이어졌다.

미국 해군에서 입수한
2004년 인도네시아의 실제 쓰나미 사진.


1845년 여름 아일랜드에서는 3주 동안 내린 큰비와 습한 날씨 때문에 감자 역병(감자 마름병)이 퍼졌고, 이 비는 이듬해 봄까지 계속됐다. 결국 주식인 감자 농사를 망친 수많은 아일랜드 인들이 굶어죽었고 200만 명 이상이 이후 10년간 미국으로 이민을 떠났다. 이렇게 갑작스러운 대규모 자연재해가 인류역사에 큰 영향을 미치는 것이 파국이론의 실제 예이다.

● 부모 자식 간의 사랑

지금까지 주로 남녀 간의 사랑에 대하여 이야기 했다면 이번에는 부모와 자식 간의 사랑에 대하여 이야기 해 보자.

사랑하는 남편을 잃은 부인을 미망인이라고 하고, 아내를 잃은 남자를 홀아비라고 하며, 부모를 잃은 자식을 고아라고 한다. 그러나 이 세상 어느 나라 말에도 자식을 잃은 부모를 지칭하는 단어는 없다고 한다. 그만큼 자식을 잃는다는 것은 말로 도 한 단어로 표현하기에는 불가능하다는 것을 알 수 있다. 부모의 자식에 대한 사랑은 두 말 할 나위 없다. 그렇다면 자식의 부모 사랑은 어떨까?

우리 민족은 예로부터 효를 매우 중요한 인간의 도리로 생각하고 있었고 지금도 아름답게 이어지고 있다. 효에 대하여는 매우 많은 예와 훈훈한 이야기가 있다. 그 중에서 우리는 김삿갓에 얽힌 이야기를 하나 소개하겠다.

방랑시인 김삿갓! 그는 대동강 물을 팔아먹은 봉이 김선달과 함께 우리 민족의 영원한 해학으로 기록되고 있는 인물로 원래 이름은 김병연이다. 그는 조선말에 선비 집안에서 태어나 과거에 급제하였으나 집안이 역적으로 몰려 가정과 관직을 버리고 평생을 삿갓을 쓰고 방랑하며 살았던 실존 인물이다. 그리고 그의 호방하고 재치 있는 시는 우리에게 널리 알려져 있다.

그의 많은 시 가운데에서 일대일 대응을 이용하여 자식이 부모를 사랑하는 마음을 전한 시를 한 편 소개하며 이야기를 맺고자 한다. 이 시는 그가 전국을 떠돌던 때에 바닷가 어떤 사람의 회갑연에 초대받게 됐다. 그때 그 자식들이 부모님의 만수무강을 비는 시를 부탁하자 즉석에서 지은 것으로 알려져 있다. 이 시의 소재는 모래알인데, 인류 역사상 가장 위대한 고대인인 아르키메데스는 지구 상의 모래알의 수에 대하여 다음과 같이 말했다.

“지구 상의 모래알의 개수는 유한하며, 그 개수는 ‘제 7의 옥타드 천 단위’수인 10의 51승 보다 적다.”

그러나 김삿갓은 이 세상의 모래알의 수를 무한으로 보고 그 개수를 세는 방법을 칸토르가 무한집합의 개념을 만들 때 사용한 ‘일대일 대응’의 원리를 사용하고 있다. 참으로 뛰어난 인물이었던 것 같다.

可憐江浦望 (가연강포망) 강에 나와 그 경치를 살펴보니
明沙十里連 (명사십리연) 유리알 같은 모래가 십리에 걸쳐 있구나.
令人個個捨 (영인개개사) 모래알을 일일이 세어보니
共數父母年 (공수부모년) 그 수가 부모님의 연세와 같구나.


비록 김삿갓이 알고 있었던 모래알의 수는 틀리지만, 이 시에 나타나 있는 것과 같이 그는 이미 일대일대응 규칙으로 무한을 계산하고 있었다. 어쨌든 이 시는 자식의 부모에 대한 사랑이 고스란히 담겨있다.

일대일 대응


일대일 대응이란 두 집합 A, B의 원소를 서로 대응시킬 때, A의 한 원소에 B의 단 하나의 원소가 대응하고, B의 임의의 한 원소에 A의 원소가 단 하나 대응하도록 할 수 있는 대응이다. 이 때 집합 A, B는 대등(對等, 서로 견주어 높고 낮음이나 낫고 못함이 없이 비슷함)이라고 한다. 자연수 전체의 집합, 짝수 또는 홀수 전체의 집합은 각각 일대일 대응이므로 대등이다. 또 A, B 집합 사이에 일대일 대응이 이루어지면, 각 집합에 속하는 수의 개수는 같다.

위상수학과 일대일 대응을 통해 사랑을 수학적으로 풀어보았다. 수학과 사랑이 또 다른 것으로 엮일 수 있다면, ‘사람에게 소중한 가치’라는 공통분모로 묶일 수 있지 않을까.
이 세상의 모든 자식과 부모님들이 모두 건강하게 사랑하며 살길 기원한다.


글 : 이광연 한서대 수학과 교수

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보통 3월 14일을 화이트데이로 생각하지만 이 날은 과학사에서 아주 중요한 날이다. 시사잡지 타임이 20세기 최고의 인물로 선정한 알베르트 아인슈타인의 생일이기 때문이다. 아인슈타인은 죽은 뒤에 그의 뇌조직에 대한 연구가 진행될 정도로 천재과학자로 알려져 있다. 아인슈타인의 뇌에는 신경세포의 활동을 돕는 아교세포가 다른 사람보다 월등히 많아 이것이 천재성과 관련이 있는 것으로 추정되고 있다.

하지만 그의 뇌는 1.23㎏으로 성인 남성의 평균인 1.4㎏보다 가볍고, 성인 여성의 평균인 1.25㎏과 비슷했다. 또 잘 알려진 것처럼 유년 시절에 낙제를 할 정도로 공부를 썩 잘하는 편도 아니었다. 만 30개월이 될 때까지 말을 못했다는 믿기 어려운 일화도 전해진다. 어느날 갑자기 “우유가 너무 뜨겁다”고 말을 해, 부모가 “왜 지금껏 말을 하지 않았느냐”고 묻자, “(말할 필요 없이) 괜찮아서”라고 답했다고 한다.

천재로 알려진 아인슈타인도 그의 생활을 들여다보면 매우 평범하다. 어릴 때 어머니의 강압에 못이겨 억지로 바이올린을 배운 그가 나중에는 바이올린을 연주하면서 문제를 풀기도 하고, 인도주의적 행사를 돕기 위해 미국 뉴욕의 카네기홀에서 연주회를 갖기도 했으니 말이다. 또 사생활에서는 "95% 정도의 남녀는 천성적으로 일부일처제에 어울리지 않으며 단지 즐기기를 선호한다"고 말할 정도로 책임감과 도덕성이 부족한 행동이 많았다고 한다.

하지만 그는 1905년 3월 광양자 가설, 5월 브라운 운동, 6월 특수상대성 이론이라는 3가지 획기적인 이론을 발표해 과학사에서 1905년을 ‘기적의 해’로 불리게 만들었다. 이중 6월에 발표된 특수상대성 이론은 이미 모든 것이 결정돼 있다는 결정론적 세계관에 갇혀있던 인류에게 패러다임의 변화를 가져왔다. 또한 많은 사람들에게 시간여행이 가능할지 모른다는 기대감을 갖게 만들었다. 하지만 빛보다 빠르면 시간여행이 가능할 것이라는 생각은 여러 가지 난제에 부딪혀 현재까지의 과학 이론과 기술로는 불가능한 것으로 알려져 있다. 과학향기링크

현재까지 빛은 가장 빠르며 속도가 일정하다고 알려져 있다. 빛의 속도는 일정 시간 동안 이동한 거리의 비로 얻어진 값이다. 그런데 빛이 이동하는 거리를 줄이거나 늘리면, 빛 속도가 일정해야 하므로 변하는 거리에 따라 시간도 달라져야 한다. 이처럼 거리가 변함에 따라 시간도 상대적일 수 있다는 것이 특수상대성이론의 핵심이다. 아인슈타인은 시간과 공간(거리)이 별개가 아니라 하나로 함께 움직이는 시공간을 만들어냈다. 시공간의 상대적 차이에 따라 관측자마다 똑같은 현상도 다르게 볼 수 있다는 것이다.

예를 들어 한 사람이 우주여행을 하면서 지구에 있는 친구에게 1분마다 소식을 보낸다. 이때 우주선이 지구와 멀어지면서 빛의 속도에 가깝게 여행할수록 우주선에서 1분마다 보내는 소식의 간격이 지구에서는 1분보다 더 길어지게 된다. 우주선의 시계는 일정한 속도로 가고 있지만 지구에서 이를 측정하는 관측자에게는 매우 느리게 가고 있는 것이다.

특수상대성이론에서 빛은 질량을 가지지 않아 빛은 중력의 영향을 받지 않는다. 하지만 일반상대성이론에서는 움직이는 시공간이 휘어져 있기 때문에 빛도 휘게 된다. 빛도 휜다는 아인슈타인의 생각은 영국의 천문학자 에딩턴이 일식 때 별빛이 태양 중력에 의해 휜다는 사실을 밝힌 뒤에야 제대로 인정받기 시작했다. 특수상대성이론은 제한적인 조건에서만 상대성이론이 적용되기 때문에 아인슈타인은 일반적인 상황에서도 적용될 수 있게 이를 업그레이드한 일반상대성이론을 발표했다.

이처럼 많은 사람들은 아인슈타인 하면 상대성이론을 떠올린다. 그래서인지 사람들은 그가 상대성이론으로 노벨상을 수상한 것으로 안다. 하지만 실제는 그렇지 않다. 상대성이론은 당시로는 획기적인 생각이어서 인정받는데 많은 시간이 걸렸다. 그가 노벨상을 받은 업적은 광양자 가설이다.

‘빛은 입자일까 파동일까’라는 수천년을 이어온 빛의 본성에 대한 이 질문에 어느 쪽도 완승하지 못했다. 아인슈타인은 1905년 ‘물리학 연보’에 ‘빛의 창조와 변화에 관한 과학적 관점에 대하여’라는 입자론을 지지하는 논문을 제출했다. 그는 논문에서 빛이 광자(photon)로 불연속적으로 운동한다고 주장했다. 에너지가 흡수됐다가 방출될 때 입자로만 이뤄진다는 플랑크의 연구에 주목하던 아인슈타인은 가열된 물질의 에너지가 빛으로 바뀔 때 빛 에너지가 입자상태라고 가정해야 설명이 된다는 것을 알아냈다. 여기서 도입된 것이 빛 양자로 그의 논문이 ‘광양자 가설’로 불리는 이유다.

아인슈타인의 광양자 가설을 이용하면 금속표면에 적외선을 쪼이면 나오지 않는 전자가 자외선을 쪼이면 튀어나오는 광전효과를 설명할 수 있다. 파동이론에 따르면 적외선이든 자외선이든 빛을 쪼이면 입자가 튀어나와야 했다. 1922년 당시 학자들 사이에서 광양자 가설의 타당성에 대해서 회의적인 분위기에서도 아인슈타인은 노벨물리학상을 수상했다.

빛은 정확하게 보면 입자도 파동도 아닌 제3의 형태를 가진다. 다만 제3의 형태가 사람이 인식할 수 있는 형태가 아니기 때문에 우리는 입자나 파동이라는 형태로 바꿔서 생각하고 설명할 뿐이다.

아인슈타인의 말 중에서 “신은 우주를 가지고 주사위 놀이를 하지 않는다”는 유명한 말이 있다. 이 말은 우연성에 영향을 받아 확실한 것은 하나도 없다는 양자역학의 불완전성을 부정적으로 바라본 아인슈타인이 양자역학을 연구하는 과학자들에게 충고한 말이다. 그런데 이 말을 들은 보어는 오히려 “신이 왜 주사위놀이를 하는지를 생각해보라”고 충고했다. 결국 아인슈타인의 생각이 틀린 것으로 판명났다. 우리는 여기서 천재도 모든 것을 다 알거나 정확하지 않다는 단순한 진리를 얻는다. (글 : 박응서 과학칼럼니스트)

<출처 : 한국과학기술정보연구원>ndsl링크

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