[MATH] 피라미드에 얽힌 이집트의 수학이야기! 작도와 왕도

수학에 관한 유명한 격언인 ‘수학에는 왕도가 없다’라는 말은 세계사와 밀접한 관련이 있다. 물론 이 말은 워낙 오래전부터 전해졌기 때문에 정확하게 누가 했는지에 대해서는 여러 가지 설이 있다. 하지만 수학의 역사를 연구하는 많은 학자들은 유클리드가 당시 이집트의 지배자였던 톨레미(프톨레마이오스라고도 부른다) 왕에게 이 말을 했다고 여기고 있다.

톨레미 왕은 알렉산더 대왕이 죽은 후에 이집트를 지배했고, 유클리드는 이집트의 알렉산드리아 대학의 수학 교수였다. 톨레미 왕은 뛰어난 수학자인 유클리드에게 기하학을 배우고 있었는데, 왕은 기하학이 너무 어려워 유클리드에게 물었다.
“기하학을 쉽게 배울 수 있는 방법이 없겠소?”
그러자 유클리드가 말했다.
“왕이시어. 길에는 왕께서 다니시도록 만들어 놓은 왕도가 있지만, 기하학에는 왕도가 없습니다.

사실 위에서 말하는 ‘왕도’는 기원전 330년 알렉산더 대왕에게 멸망당한 페르시아 제국이 만든 길이다. 이 길이 만들어진 배경을 간단히 알아보자.

유프라테스 강과 티그리스 강 사이의 지역인 메소포타미아 지방은 기원전 900년경에 아시리아인들의 기병과 전차를 이용한 아시리아인들의 손에 넘어갔다. 그들이 이 지역을 가혹한 방법으로 지배하자 끊임없이 반란이 일어났다. 그 결과 이 지역은 기원전 610년경에 4개의 나라로 분리됐다. 그리고 얼마 지나지 않은 기원전 525년에 페르시아가 이 지역을 통일하게 되는데, 이것이 바로 유럽, 아시아, 아프리카에 걸친 ‘아케메네스 페르시아 제국’이다.

페르시아 제국은 수도를 정치 중심지인 수사, 겨울 궁전인 바빌론, 여름 궁전인 에크바타나의 3개의 도시로 정했다. 그리고 수사와 지중해에 접해있는 소아시아의 사르데스를 잇는 약 2400km의 길을 만들었다. 이 길은 왕의 명령을 전달하기 위해 만든 것으로 보통 사람이 3개월 걸려서 갈 것을 왕의 사자는 이 길을 이용해 1주일 만에 주파할 수 있었다고 하니, 당시에 이 길을 통하는 것이 얼마나 빠른지 짐작할 수 있을 것이다. 이것이 바로 우리가 말하는 ‘왕의 길’ 즉 ‘왕도’로, 사르데스는 현재 터키의 이스탄불 남쪽에 있는 이즈미르 지역이었으며, 수사는 이라크의 바스라 북쪽 지역이다.

왕도가 만들어졌던 기원전 600년경부터 기원전 300년까지의 시기는 수학의 역사에 있어서 대단히 중요한 시기이기도 하다. 이 시기 동안 유클리드는 <원론>이란 책을 통해 기존의 수학을 하나로 통합했으며 무한소, 극한, 합의 과정 등과 관련된 수학적 개념을 발전시켰다. 그리고 수학을 이르는 말이었던 기하학은 원과 직선에서 곡선과 곡면을 연구하는 고등기하학으로 발전하게 됐다.

특히 이 시기에는 도형을 작도하는 문제가 한창 유행했다. 작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용해 도형을 그리는 것이다. 서양에서 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 전통은 플라톤(Platon, BC 427(?) - BC 347)때부터 시작됐다. 플라톤이 작도의 도구로써 자와 컴퍼스만을 고집한 이유는 ‘가장 완전한 도형은 직선과 원이며, 그래서 신은 직선과 원을 중요시 여긴다.’라는 믿음 때문이었다.

작도는 고대 이집트에서도 활용됐다. 기원전 3000년경 메네스(Menes) 왕은 상‧하 이집트로 나눠져 있던 이집트를 통일했다. 그 이후에 왕을 ‘큰 집에 사는 사람’이라는 뜻의 파라오라고 불렀고, 파라오의 권력은 신으로부터 부여받은 것이라고 주장했다. 특히 메네스 왕은 신이 자신에게 부여한 권위를 나타내기 위해 자신이 죽은 후에도 왕을 모시는 피라미드를 건설하기 시작했다.




고대 이집트에서 최고 지배자였던 파라오는 신과 똑같은 존재였기 때문에 성직자들은 파라오를 위하여 죽은 후에 영혼이 살 집인 피라미드를 세워야 한다고 생각했다. 오늘날 피라미드에 관해 남아 있는 가장 오래된 기록은 그리스의 역사가 헤로도토스가 쓴 책 <역사>에서 찾을 수 있다. 그 책에 따르면 이집트 카이로 근교 기자의 피라미드를 완성하기 위해 10만 명이 3개월씩 교대로 20년 동안 일해 완성했다고 한다. 외부를 장식하는 돌과 돌 사이의 빈틈은 기껏해야 0.5mm 정도일 만큼 고도의 기술로 만들어졌으며, 피라미드라는 이름은 그리스어의 피라미스(pyramis, 세모꼴의 빵)에서 유래했다고 한다.

이집트의 건축가들은 엄청난 크기의 피라미드를 똑바로 세우기 위해서 피라미드의 설계도를 그렸을 뿐만 아니라, 채석장에서 운반돼 온 돌 블록의 가장자리를 어떻게 해야 정확히 땅과 수직이 되게 세울 수 있는지도 알고 있었다. 피라미드의 설계도는 오늘날과 같은 정밀한 것이라기보다는 완성된 건물의 모습을 간단하게 그렸을 것으로 추측하고 있다. 피라미드를 건설하는 사람들은 설계도와 같은 실제 크기의 건축물을 세우기 위해 설계도에 있는 내용을 피라미드가 실제로 세워질 땅위에 정확하게 표시하는 방법과 세우는 방법 모두를 알고 있어야 했다. 그래서 피라미드 건축가들은 오늘날 우리가 기하학이라고 부르는 실용적인 측정 기술을 활용했다.

피라미드 건설에서 가장 어려운 문제는 피라미드의 밑면을 정확하게 정사각형으로 만드는 일이다. 바닥에 그려진 사각형의 어느 한쪽 변의 길이가 다른 한쪽 보다 길거나, 네 귀퉁이의 각 가운데 어느 한 각이 직각을 이루지 않는다면, 밑면은 정사각형이 되지 않아 결국 피라미드를 모두 쌓아 올리면 꼭대기가 정확하게 들어맞지 않게 된다. 이와 같은 오차가 피라미드의 밑에 있는 층에서 발생하면 돌을 위로 쌓을수록 그 오차는 점점 더 커질 것이다. 따라서 건축가들은 매우 정밀한 측량을 하고 정확하게 직각을 그려야 했고, 직각을 그리기 위해 그들이 사용한 방법은 바로 작도다.

이집트인들은 작도의 방법을 이용해 피라미드를 세울 땅에 정확하게 정사각형을 그렸고, 그 위에 차곡차곡 돌 블록을 쌓아 올렸다. 작도를 활용해 건설한 대 피라미드는 피라미드의 동쪽 밑변의 길이가 230.391m, 서쪽 밑변의 길이가 230.357m, 남쪽 밑변의 길이가 230.454m, 북쪽 밑변의 길이가 230.253m다. 당시에는 오늘날과 같은 정밀한 측량기가 없었음에도 불구하고 피라미드의 네 변의 길이를 거의 일치시켰다는 것은 매우 놀라운 일이다. 또한 피라미드의 밑면을 이루는 사각형은 거의 무시해도 좋을 정도의 오차로 네 각이 모두 90°다.

고대 이집트인은 작도로 직각삼각형만 만들어낸 것이 아니다. 작도로 동, 서, 남, 북의 네 방향을 정확하게 알아내기도 했다. 그들은 해가 뜨는 쪽과 지는 쪽을 각각 동쪽과 서쪽으로 정했고, 두 지점을 직선으로 이은 후 그 직선의 수직선을 앞에서와 같은 방법으로 작도해 북쪽과 남쪽을 정했다. 이로써 동, 서, 남, 북의 네 방향이 서로 수직이 되게 정할 수 있었던 것이다.

고대 이집트인들이 기하학을 알지 못했다면 그렇게 정밀한 피라미드를 건설하지 못했을 것이다. 이집트인들의 놀라운 수학 실력은 세계의 역사를 바꾸는 중요한 도구가 됐고, 덕분에 우리는 오늘날 거대한 피라미드를 볼 수 있는 것이다.

글 : 이광연 한서대 수학과 교수

 

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몬드리안의 추상화도 과학덕분?

법칙에는 ‘만들어진’ 것과 ‘발견된’ 것이 있지만 둘 다 법칙이고, 법칙은 언제나 옳다. 법칙은 실재 속에 숨어서 우리를 둘러싸고 있으며, 변하지 않는다.

- 피에트 몬드리안



검정색 수직선과 수평선으로 구획을 나눈 단순한 구성에 빨강, 노랑, 파랑 등 색의 삼원색만을 사용한 회화 작품. 굳이 미술 교과서에 실린 작품이라고 말하지 않아도 누구나 알 법한 이 작품은 네덜란드의 화가 피에트 몬드리안(Piet Mondrian, 1872~1944)의 대표작이다. 몬드리안은 1872년 3월 7일, 네덜란드 아메르푸르트에서 태어났다. 그의 아버지는 초등학교의 교장이자 아마추어 소묘 화가였다. 그의 숙부 역시 사실주의 경향을 가진 헤이그파의 화가로, 어린 몬드리안에게 회화를 가르쳐 주었다. 몬드리안에게는 어린 시절부터 그림을 그릴 수 있는 환경이 주어졌던 것이다.



[그림1] 예술과 과학에 공통적으로 적용할 수 있는 불변의 법칙을 찾기 위해 노력한 피에트 몬드리안. 사진 출처 : 위키미디어

오늘날 ‘현대 추상미술의 거장’, ‘차가운 추상의 대표 작가’로 불리는 몬드리안은 과학의 도움을 많이 받은 작가로 꼽힌다. 앞서 그가 남긴 말처럼, 몬드리안은 예술과 과학에 공통적으로 적용할 수 있는 불변의 법칙을 찾기 위해 그림을 그렸다.

몬드리안이 그린 추상화는 일반적으로 사물이나 풍경을 그대로 묘사하는 구상화와는 다르다. 추상화는 순수한 점, 선, 면, 색채에 의한 표현을 목표로 한 그림이라고 할 수 있다. 대상의 형태를 해체하고 작가의 방식으로 재구성해 표현한 입체파 등도 포함된다.

몬드리안은 1917년 선과 색채로 순수한 추상적 조형을 나타내자는 ‘신조형주의(Neo Plasticism)’를 주창했다. 이후 그는 모든 대상을 수평선과 수직선으로 극단화시켜 화면을 구성했다. 사물을 있는 그대로 재현하는 방법을 버리고 한 대상을 몇 가지 모티브로 단순화하기 위해 반복해서 연구했다. 그는 수직은 남성성으로, 수평은 여성성으로 보고 수직선을 나무에서, 수평선을 바다의 수평선에서 찾았다. 우리가 사는 세상을 단순화해 바라보면 점, 선, 면으로 이루어져 있는데, 때문에 가장 기본적인 조형요소만으로 사물의 본질을 드러낼 수 있다고 생각한 것이다.



그는 <빨강 노랑 파랑의 구성(Composition with Red, Yellow and Blue>(1928년), <파랑과 빨강의 구성(Composition No. 2 in Blue and Red)>(1929년) 등의 작품에서 검정색 수직선과 수평선, 그리고 이들이 교차하는 선을 사용한 작품을 이어갔다. 그러다 보니 그의 작품들은 얼핏 비슷해 보인다. 하지만 그는 자신만의 스타일 안에서 조금씩 변형을 시도하며 수평선과 수직선, 정사각형과 직사각형의 순수 기하학적 형태의 화면 구성을 발전시켜 나간다.



[그림 2] 몬드리안의 ‘빨강 노랑 파랑의 구성’. 사진 출처 : 동아일보

1942년 작인 <브로드웨이 부기우기(Broadway Boogie-Woogie)>는 뉴욕의 활기찬 이미지를 표현한 것으로 유명하다. 단순화된 기하학적인 구성은 동일하지만 정지된 느낌을 주는 검정색 선 대신 노란색 직사각형과 정사각형을 길게 이어 붙이고 빨강색과 회색, 파란색의 정사각형을 중간 중간에 섞어 활기와 역동성을 표현했다. 이 작품은 그의 회화 인생에 큰 전환점이 된다.

그의 마지막 작품으로 알려진 <빅토리 부기우기(Victory Boogie-Woogie)>(1943-1944)는 직사각형 캔버스 대신 마름모꼴의 캔버스를 사용해 승리와 축제의 분위기를 나타냈다. 역시 검정색의 수직선과 수평선 대신 작은 정사각형과 직사각형들로 구획을 분할했다. 1944년 2월 1일 사망하며 미완성 작품으로 남겨졌지만, 수학적이며 과학적인 분석을 통해 사물과 감정을 표현한 그의 감각은 그대로 느낄 수 있다.

몬드리안이 처음부터 추상화를 그린 것은 아니다. 많은 화가들이 초반에 그러하듯, 몬드리안 역시 구상화를 그렸다. 하지만 그의 구상화는 그다지 주목받지 못했다. 그가 활동을 시작할 당시인 20세기 초반은 사진이 대중화되기 시작하던 때로, 사진과 차별화된 회화만의 독특한 개성이 요구되던 시기다. 몬드리안 역시 뭉크, 반 고흐, 아르 누보, 피카소, 야수파, 신인상주의의 영향을 받아 독자적인 작품 세계를 구축하며 새로운 추상회화를 탄생시킨 것이다.

몬드리안 외에도 과학의 도움을 받은 예술가는 쉽게 찾을 수 있다. 추상 회화의 선구자로 꼽히는 러시아의 화가 바실리 칸딘스키는 아인슈타인의 상대성이론에 따라 모든 사물은 실체가 변하는 ‘비정형’이라는 사실을 깨달았다. 입체파를 대표하는 에스파냐의 화가 파블로 피카소는 듀프레라는 수학자의 공식에서 영감을 받아 자신만의 독특한 미술 세계를 구축했다. 듀프레는 4차원의 공간을 2차원으로 바꾸는 공식을 만들었다.

또한 이차원 화면에 삼차원의 공간감과 깊이감을 표현하는 원근법은 이탈리아 르네상스 시대 이후로 미술사에서 꾸준히 사용돼 왔다. 원근법은 수학적으로 공간과 물체를 측량하는 간단한 방법이다.

“과학과 예술을 융합하면 상상력과 창의력을 만들 수 있다”

아서 밀러 영국 런던대 물리학과 명예교수의 말처럼 미술을 통해 과학이 더 발달하고, 또 과학을 통해 미술이 새로운 모습으로 탄생할 수 있다. 비단 과학과 미술에만 해당되는 얘기는 아닐 것이다.

글 : 유기현 과학칼럼니스트

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“종이로만든배암이종이로만든배암이라고하면▽은배암이다 / ▽은춤을추었다 / ▽의웃음을웃는것은파격이어서우스웠다 / …중략… / 굴곡한직선 / 그것은백금과반사계수가상호동등하다 / …중략… / 1 / 2 / 3 / 3은공배수의정벌로향하였다 / 전보는오지아니하였다”

우리가 잘 알고 있는 시인 이상(1910~1937)의 ‘▽의유희’라는 시의 일부다. 여기서 역삼각형은 촛불을 의미한다. 촛불이 흔들리는 모습을 보고 춤을 춘다고 했고, 촛불의 심지가 타들어가는 모습을 굴곡한 직석이라고 했으며, 촛불이 환하게 밝아지는 모습을 숫자 1, 2, 3으로 표현했다.

이처럼 이상의 시를 보면 수학적인 표현이 많이 나온다. 그는 ‘삼차각설계도-선에관한각서1, ∇의 유희, 건축무한육면각체, 조감도-신경질적으로비만한삼각형’처럼 작품 제목에서부터 삼각형, 육면체, 각, 선처럼 우리가 잘 아는 용어를 활용했다. 그러면서 누구도 흉내 내기 어려운 자신만의 작품 세계를 그려냈다. 수학으로 세상을 노래한 것이다.

2010년 8월 20일은 그가 태어난 지 100주년이 되는 날이다. ‘박제가 된 천재’라 불리는 그의 작품에는 문학적 표현에 숨겨진 의미뿐 아니라 수학적 표현도 많다. 그래서 수학자들 사이에는 그가 수학자가 됐다면 천재적인 재능을 보였을지 모른다는 의견도 나온다.

김용운 단국대 석좌교수는 “탁월한 수에 대한 감각과 비상한 계산력을 볼 때 이상이 수학자였다면 상당한 수준에 이르렀을 것”이라고 말했다. 실제로 총독부에서 건축기사로 근무했던 그는 독특한 계산법으로 업무를 처리해 동료를 놀라게 할 정도로 뛰어난 수학적 재능을 보인 바 있다.

그런데 이상은 왜 수학적인 표현을 이용해서 시를 썼을까? 그가 표현한 수학적 의미는 무엇일까?

우선 그의 전공부터 살펴보자. 그는 1926년 보성고등보통학교를, 1929년에 경성고등공업학교(현재 서울대학교) 건축과를 졸업했다. 경성고등고업학교 재학 시 그는 일본 도쿄대에서 쓰는 것과 같은 교재, 즉 서양의 최신 과학기술과 수학이 수록된 교재로 공부했다. 덕분에 과학과 수학에 대한 이해도가 높았다고 볼 수 있다. 또 수학자는 아니었지만 상당한 수준의 수학적 직관을 가지고 있었다.

하지만 그는 당시의 수학과 과학으로 세상을 완벽하게 이해할 수 없다고 생각했다. 인간의 정신과 같이 과학적으로 분석하기 어려운 것에 수학이 모르는 또 다른 세계가 있다고 생각한 것이다.


‘삼차각설계도’라는 연작시 중 ‘선에관한각서 2’를 보면 이상이 당시에 꿈꾼 세상을 엿볼 수 있다. 이 시에는 1과 3이 나온다. 전문가들은 1과 3을 단순한 숫자가 아닌 차원으로 해석한다. 즉 ‘1+3’에서 1은 선을, 3은 3차원의 공간을 뜻하며, 1+3은 차원의 결합으로 4차원의 세계, 즉 인간이 모르는 새로운 세계를 말한다고 본다. 이상이 이 시에서 4차원을 암시했다는 해석이다.

이에 대해서 신범순 서울대 국문학과 교수는 다른 해석을 제시한다. 이 시는 뒤쪽 괄호 안에 주석을 달아 시를 설명하는데, 여기서 ‘인문의 뇌수’, 즉 인문적인 정신과 마음을 강조했다는 것. 또 이상이 숫자를 수학과 다른 방식으로 보는 경우가 많아 1로는 ‘나’를, 3으로는 ‘그들’을 가리켰을 수 있다는 해석이다.

다시 말해 과학적으로만 해석할 경우 이상의 시를 잘못 알 가능성이 크다는 의견이다. 신 교수는 “당시에 과학적으로 4차원이 제시됐다”며 “이상처럼 뛰어난 천재가 단순히 흉내 내기를 했을 가능성이 극히 드물다”고 말했다.

특히 이 시 A+B+C=A, A+B+C=B, A+B+C=C에서 이상의 수학적 재능을 엿볼 수 있다. 이 수식이 성립하려면 A, B, C가 평면에서는 같은 점이어야만 한다. 하지만 공간에서는 다른 위치에 있어도 세 점이 일정한 각도를 유지해 직선으로 연결되면 세 점이 동일한 한 점으로 보이는 경우가 얼마든지 가능하다. 이 역시 이상의 남다른 수학적 표현을 엿볼 수 있는 부분이다.

이상은 이처럼 예술적인 재능은 물론 수학과 과학 분야에서도 뛰어난 재능을 보여줬다. 한 전문가는 “이상은 레오나르도 다 빈치처럼 다양한 분야에서 자신의 재능을 발휘한 다방면의 천재”라고 말한다. 전인적이고 다재다능하며, 수학과 과학을 정보로 활용한 천재라는 이야기다.

참고로 이상의 본명은 김해경이다. 이상이라는 이름은 연예인들이 실제 이름 대신 사용하는 가명과 비슷한 셈이다. 필명 이상에 대해서는 학창시절 별명이라는 설과 공사장 인부들이 그의 이름을 몰라 ‘리상(이 씨)’라고 불러 그대로 썼다는 설이 있다.

그는 1936년 폐결핵을 치료할 목적으로 도쿄로 갔다가 불온사상 혐의로 일본경찰에 체포됐다. 그러다 병보석으로 풀려 도쿄대 부속병원에 입원했지만 안타깝게도 1937년에 생을 마감했다.

글 : 박응서 동아사이언스 기자
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